Tesis doctorales de la Escuela Internacional de Doctorado de la URJC desde el curso 2024/25
Novel Numerical Methodologies Based on Green Functions for High Performance Computing in Non-Linear Partial Differential Equations
Autor
SOLANO LÓPEZ, PABLO
Director
MOLINA GIL, RAÚL
Codirector
SAAVEDRA GARCÍA, JORGE
Fecha de defensa
28-02-2025
Calificación
Sobresaliente cum laude
Programa
Tecnologías de la información y las Comunicaciones (TICs)
Mención internacional
No
Resumen
Este trabajo estudia la aplicación de soluciones débiles, también llamadas integrales, de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadas parciales para la construcción de algoritmos numéricos de resolución de las mismas. En particular, se estudia cómo las funciones de Green aparecen en las soluciones de ecuaciones con operadores separables en un término dicho cuasi-lineal y otro no lineal y las posibilidades que ofrecen a la hora de resolver el problema de manera eficiente.
Para ello, se comienza introduciendo la hipótesis de tiempos cortos, es decir, que se estudia el avance temporal de la solución del problema en instantes de tiempo separados entre si un paso menor que la unidad. Así es posible extraer la función de Green como la responsable de dicha evolución temporal: actúa como una función o probabilidad de transición del instante o estado inicial al siguiente. Por ello, conocer la función de Green definida a tiempos cortos dará la información necesaria para propagar la condición inicial en el tiempo mientras cumple la ecuación inicial.
Bajo dicha hipótesis, se obtienen dos posibles formas analíticas de la función de Green: su expresión funcional o cerrada y su expresión discreta como desarrollo en serie de Taylor sobre su condición inicial, que es una delta de Dirac, es decir, una función puntual sobre la que se condensa la información del operador. Estas dos expresiones definen maneras distintas pero equivalentes de desarrollar la solución de un problema descrito por una ecuación no lineal en derivadas parciales con la forma deseada.
Así, bajo estas hipótesis podremos separar la solución completa del problema en tres contribuciones: la propagación de las condiciones iniciales a través de la función de Green, la contribución de los términos no lineales y de los términos de contorno, todos ellos obtenibles a partir de la función de Green. Por ello, tras analizar la forma particular de la función de Green para varios operadores de interés, el siguiente paso es encontrar su traducción numérica sobre la que construir los algoritmos de evolución temporal.
Para ello, llevamos a cabo un estudio de las diferentes maneras de aproximar la función incógnita, poniendo el foco sobre las aproximaciones polinomiales, presentando de manera formal las aproximaciones sobre mallas homogéneas y mallas de Chebyshev. Sobre ambas mallas se desarrolla la expresión de los polinomios de Lagrange hasta obtener su forma en monomios, que permitirá definir la expansión finita de la función incógnita a partir de coeficientes y monomios de cierto orden.
Una vez disponibles dichas expansiones y estudiadas las limitaciones y errores tanto en el dominio del espacio como en el de las frecuencias vía su transformada de Fourier, se detecta que, si bien las mallas o distribuciones de puntos homogéneas presentan el error más bajo de ambas en el centro de la discretización, las mallas de Chebyshev mantienen constante su error a lo largo del dominio debido a su propiedad de equioscilación. Sin embargo, las mallas homogéneas crecen de manera exponencial al acercarse al final del dominio de aproximación, con lo que es necesario buscar un compromiso.
Para solucionar este problema, se estudia y adapta un algoritmo de optimización de malla, que selecciona los puntos de la misma haciendo que el error se mantenga acotado. Dicho algoritmo presenta la ventaja de que usa una aproximación llamada piece-wise o por tramos, lo que hace que cada punto de la malla tenga una región de validez para su aproximación polinomial. Así, el efecto explosivo del error al final del dominio, característico de los mallados homogéneos se logra evitar manteniendo la ventaja de su error mínimo cerca al centro de simetría de la interpolación. Además, se obtiene una variación del algoritmo que se centra exclusivamente en los últimos puntos del dominio, permitiendo así separar el problema de estudio en dos regiones: una interior al dominio en la que hay un mallado homogéneo y otra en el contorno que tiene una distribución de puntos similar a la que presentan los mallados de Chebyshev.
Una vez la discretización está definida, se integra con la función de Green para obtener el esquema de avance temporal, de donde surge naturalmente el grupo no-dimensional conocido en la literatura como el número de Courant-Friedrich-Levy (CFL). Dicho número se suele analizar desde el punto de vista de la estabilidad del método numérico, pero al aparecer junto con la función de Green puede dársele una perspectiva nueva en la que se relaciona con la cantidad de función de Green que queda representada por cada uno de los subdominios de validez de la interpolación por tramos o piezas.
Una vez se dispone de la transposición numérica de la función de Green (o su proyección sobre el espacio discreto definido por los polinomios de interpolación) el siguiente y último paso para caracterizar el método consiste en el estudio numérico de cada uno de los tres términos que componen la solución del problema, analizando sus propiedades de convergencia y de error asociado. Es decir: la propagación de la condición inicial a través de la función de Green numérica, la contribución de los términos no homogéneos y por último, de las condiciones de contorno.
Para ello se plantean casos de aplicación y validación junto con ejemplos de demostración de las posibilidades del método:
- Casos con solución analítica para verificar la dependencia de la función de Green numérica con el CFL y el número de puntos utilizado en la interpolación por piezas.
- Casos con contribuciones no-lineales con fuertes pendientes y variaciones en el tiempo
- Casos con condiciones de contorno que combinen los términos anteriores.
Así se agrupan todas las diferentes contribuciones en un esquema final que permite resolver de manera eficiente problemas con términos no lineales con forma arbitraria y condiciones de contorno que puedan variar en el tiempo y validar la metodología desarrollada en problemas de interés.
